تقدير المعلمات الثابتة والمتغيرة الزمن في نماذج المعادلات التفاضلية اللاخطية مع تطبيق عملي

الطالبة:وفاء جعفر حسين    المشرف: أ.م.د. عماد حازم عبودي

 

 

تمت في كلية الادارة والاقتصاد – جامعة بغداد ، مناقشة اطروحة دكتوراه في تخصص الاحصاء للطالبة (وفاء جعفر حسين)     بأشراف أ.م.د. عماد حازم عبودي  للدراسة الموسومة ((تقدير المعلمات الثابتة والمتغيرة الزمن في نماذج المعادلات التفاضلية اللاخطية مع تطبيق عملي)).

توصف العديد من النماذج الديناميكية بأنظمة من المعادلات   التفاضلية العادية اللا خطية مع معلمات مجهولة ثابتة ومتغيرة الزمن  ,حيث ان هذه النماذج من المعادلات تصف ديناميكيات العمليات المتغيرة باستمرار من خلال ربط العملية ومعدل تغيرها . تعتبر الخطوة المهمة في تطوير هذه النماذج الديناميكية هي تقدير هذه المعلمات بما يتفق مع البيانات المتاحة التي لا يمكن قياسها الا بوجود الخطأ العشوائي . في حالة توفر صيغ الحل التحليلي لهذه النماذج من المعادلات من الممكن استعمال الأساليب الإحصائية القياسية للانحدار اللاخطي او نماذج الانحدار ذات المعاملات المتغيرة زمنيا لتقدير المعلمات الثابتة والمتغيرة زمنيا لكن المشكلة تكمن ان اغلب نماذج المعادلات التفاضلية العادية اللاخطية لا تحتوي صيغ حلول تحليلية  فيتم اللجوء الى طرائق وخوارزميات الحل العددي لإيجاد الحل التقريبي لهذه النماذج من المعادلات. ومن هنا ظهرت الحاجة لإيجاد وتطوير طرائق لتقدير المعلمات الثابتة والمتغيرة الزمن في نماذج المعادلات التفاضلية العادية اللاخطية والتي لا تمتلك حلولا تحليلية سواء  باللجوء الى الحل العددي او إيجاد الطرائق التي لا تستند الى الحل العددي والمقارنة فيما بينها   . حيث تم في هذه الاطروحة استعمال ثلاث فئات من طرائق التقدير الفئة الأولى والمتمثلة بالطريقة المتعددة المراحل (MSSB)  حيث يتم في هذه الفئة تقدير متغير الحالة ومشتقاته بالطرائق الممهدة اللامعلمية كمرحلة أولى ومن ثم يتم تقدير معلمات النموذج بمراحل متعددة وتضمن هذه الفئة من الطرائق ثلاثة طرائق للتقدير حيث في الطريقة الأولى تم تقدير متغيرات الحالة ومشتقاتها بطريقة المتعدد الموضعي بدالة وزن Gauss  (MLP2)وفي الطريقة الثانية تم  تقدير متغيرات الحالة ومشتقاتها أيضا بطريقة المتعدد الموضعي بتوظيف دالة الوزن نوع  Epanechniko   (MLP1) اما في الطريقة الثالثة فقد تم توظيف طريقة الشرائح الجزائية P spline (M.SP) لتقدير متغيرات الحالة ومشتقاتها ومن ثم المقارنة بين الطرائق لاختيار الأفضل بينها حيث ,ان هذه الفئة من الطرائق اعتمدت التقدير الممهد اللامعلمي لمتغيرات الحالة ولم يتم اللجوء الى الحل العددي فيها . اما الفئة الثانية من طرائق التقدير هي الطرائق التي تستند على خوارزميات التفريق العددي حيث تتكون هذه الطرائق من مرحلتين يتم في المرحلة الأولى تقدير متغيرات الحالة بطريقة الشرائح الجزائية p spline وفي المرحلة الثانية يتم استعمال طريقة التفريق العددي ولقد تم استعمال طريقتين للتفريق العددي  طريقة Euler  للتفريق العددي (DEL)وطريقة شبه المنحرف للتفريق العددي (DTR)حيث تم  اقتراح تقدير جميع معلمات النموذج في هذه الطرائق . اما الفئة الثالثة من طرائق التقدير فقد تم استعمال طريقة المربعات الصغرى اللاخطية المعاملة بالشرائح (SNLS) ولقد تم استعمال خوارزمية ((Differential Evolution (NLS.DE) وتوظيف الخوارزمية الجينية (NLS.GA)والمقارنة بين الطريقتين.

ولقد تم استعمال أسلوب المحاكاة للمقارنة بين جميع طرائق التقدير التي تم دراستها في هذه الاطروحة والتعرف على افضل طريقة باستعمال المعيار الاحصائي معدل الخطأ النسبي للتقدير (ARE)للمعالم المقدرة . وتم التوصل الى ان افضل طريقة لتقدير المعلمات في نماذج المعادلات التفاضلية العادية اللاخطية هي طريقة (NLS.DE) حيث تم تطبيق هذه الطريقة على بيانات حقيقية لمريضين مصابين بفايروس الكبد الوبائي B ، وأثبتت الدراسة ان النتائج تطابق نتائج المحاكاة.